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数学問題のクリスマスプレゼントを開けてみよう!

今回は、前回のクリスマスプレゼントの面積問題を解きましょう!(^O^)/

重吉サタンさんからの数学問題のクリスマスプレゼント!
(2014.12.24リンク)

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(問)点A、B、C、D、Eが半円PQの弧を6等分するとき、点A、B、D、Eで囲まれた斜線部の面積を求めよ。
ただし、半径は4cmとし、円周率は、π(パイ)を用いる。

面積1

 

解き方としては、下の図のように、扇形OAEの赤い斜線部分の面積から、扇形OBDの赤い斜線部分の面積を引けば、求める図形の面積が出ますね。

面積3

と、方針は定まったものの、三平方の定理未習の生徒さんには、△OAE△OBDの面積を求めるのは無理というわけで、その方針はすぐに頓挫・・(x_x;)

んじゃ、どうするべ??と悩んだものの、面積を求められるのは、扇形ぐらいしかありません・・

そこで、思いついたのは、コチラ!(*^-^)b

赤い①部分-②部分の面積は、扇形OAE-扇形OBDで求まるのではないか?

面積4

その等式が成り立つためには、△OAEと△OBDの面積が等しくなければなりません。

面積5

例えば、仮に赤①部分の面積を赤②の部分の面積をと置くと、求める面積は、5-1=となります。

面積6

ここで、仮に△OAE△OBDの面積が等しいであれば、

扇形OAEの面積は、赤①+△OAE=5+5=10

扇形OBDの面積は、赤②+△OBD=1+5=6

よって、扇形OAE-扇形OBD=10-6=

となり、求めたい赤①-赤②の面積4と等しくなります。

面積7

とは言うものの、三平方の定理が使えず、面積も求められないのに、△OAE△OBDの面積が等しいことをどうやって、証明すればいいのでしょうか?f^_^;

まずは、2つの三角形がどんな三角形かを考えなけえればいけませんが、前回の記事でも書いたように、2つとも、

OA=OE=OB=OD=4cm

二等辺三角形です。

また、中心角ですが、点A、B、C、D、Eは、弧PQを6等分しているので、半径OA、OB、OC、OD、OEも中心角POQ(=180度)を6等分しているため、

∠POA=∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOQ30度

となるため、扇形AOEの中心角=120度、 扇形BODの中心角=60度となります。

そこで、2つの三角形の角度や辺の長さを書き込んでみると、下の図のようになります。

面積8

図の通り、2つの三角形とも、斜辺4cmで、30度、60度、90度の直角三角形2個分の面積となるため、

△OAE=△OBD が言えます。

そこで、求める面積は、

赤い①部分-②部分の面積=扇形OAE-扇形OBD

=4×4×π×120°/360°-4×4×π×60°/360°

=16π×1/3-16π×1/6

=8π/3(c㎡) (3分の8パイ平方センチメートル)

前回記事の最後にも書きましたが、この問題は、三角形の面積を求めずとも、扇形の面積の差で解けるので、円周率π3.14に直せば、小学生でも解けますね!(^_^)v

ただし、その場合、答えが、

8/3×3.14 = 8.3733・・

と割り切れないので、小数第◎位まで求めよの形で出されるか、答えが割り切れるように、半径が違う数字になると思います。

上の問題のように、難関中・高受験生のみなさんは、いろんな角度から解法を見つけるようにしてくださいね!(^O^)/

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