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大学受験へ向けた完全数の問題を解くぞう!・・2

公開日: : 最終更新日:2015/05/27 大学受験, 算数・数学

今日は、昨日の「解くぞう」の問題と「完全数」の問題を解きたいと思います!(^O^)/

大学受験へ向けた完全数の問題を解くぞう!(2014.12.17リンク)

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【問題】
x ,yを整数とする。 x + y + xy が偶数ならば,
x ,yはともに偶数であることを示せ。

(「人気企画 解くぞう」大学受験まなぞう (HPリンク)より)

>(ヒント)x + y + xy が偶数ならば、x + y + xy +1は奇数ですね!( ̄▽+ ̄*)<

このヒントと昨日の完全数の因数分解より、

x+y + xy +1 = (x+1)(y+1) = 奇数

ところで、条件より、xもyも整数なので、x+1もy+1も整数であり、整数の積が奇数となるのは、奇数×奇数の場合だけである。

よって、x+1y+1奇数である。 ということは、1を足して奇数となるxy偶数である。

したがって、x+y + xy +1奇数の場合(つまり、x+y + xy偶数の場合)、XY偶数となる。

 

次の完全数の解答は、写真解説で、写真は6枚です!!(^O^)/

「自然数nの約数の和S(n)が2nとなるとき、nは完全数であるといわれる。
たとえば、6の約数の和は、1+2+3+6=12となるので、6は完全数である。

(3)さて、ここで、2つの正の素数をAとBとおくとき(A<B)、
A^2・B^2(Aの2乗×Bの2乗)は完全数にならないことを証明せよ。

 

完全1
完全2
完全3
完全4
完全5
完全6

この問題では、A^2・B^2(Aの2乗×Bの2乗)の約数が、

1、A、B、AB、A^2、B^2、A^2・B、A・B^2、A^2・B^2
(A^2は、Aの2乗、B^2は、Bの2乗を表しています)

9個になるのは、比較的分かりやすいとしても、

その和が2A^2・B^2にならないことを証明しようとして、

1+A+B+AB+A^2+B^2+A^2・B+A・B^2+A^2・B^2 = 2A^2・B^2

と式を立てたとしても、昨日の(2)ほど簡単に因数分解ができないため、ドツボにはまる恐れがありますね・・(x_x;)

そこで、写真2枚目の素因数分解を利用した約数の総和の式が思いだせるかどうかにかかっていますね!(o^-‘)b

というわけで、テスト中に、いろんな単元の解法を瞬時に思い出せるように、これまでの復習やテストの見直しを、日ごろからまめに行ってほしいと思います!(^_^)v

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