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大学受験へ向けた完全数の問題を解くぞう!

公開日: : 最終更新日:2015/05/27 大学受験, 算数・数学

重吉は、

大学受験まなぞう (HPリンク)

という大学受験サイトのメルマガを購読していますが、その中の「人気企画 解くぞう」という問題・解答企画の昨年の数学の問題で、こんな問題が出ました!

【問題】
x ,yを整数とする。 x + y + xy が偶数ならば,
x ,yはともに偶数であることを示せ。

明日の記事で解答する予定ですが、ひとつヒントを!(^_^)v

x + y + xy が偶数ならば、x + y + xy +1は奇数ですね!( ̄▽+ ̄*)

このヒントを参考にして、解いてみてくださいね!(^O^)/

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さて、以前、この問題の発展版のような問題が、県立トップ高の学内模試に出ていたので、そちらを解いてみましょう!φ(.. )

「自然数nの約数の和S(n)が2nとなるとき、nは完全数であるといわれる。
たとえば、6の約数の和は、1+2+3+6=12となるので、6は完全数である。」

「完全数」については、wikipediaを参照ください。

完全数(wikipediaリンク)

さて、ここで、2つの正の素数をAとBとおくとき(A<B)、

(1)2個の素数の積ABの約数の和を答えよ。

これは簡単! ABの約数は、1、A、B、ABの4個であり、その和は、

1+A+B+AB

となりますね!

(2)ABが完全数である場合、AB=6しか成り立たないことを証明せよ。

これは、ちょいと骨のある問題ですね!(^_^;)

とりあえず、(1)の解と「完全数」の式に当てはめると、

1+A+B+AB=2AB

となります。 この式を変形して、

AB-A-B-1=0

さらに、

(AB-A-B+1)-2=0

としますが、この変形式の意味がつかめなければ、この問題は解けないでしょうし、最初の「解くぞうくん」の問題も解けないかもしれません・・(><;)

カッコ内の式は、AB-A-B+1=(A-1)(B-1)と因数分解できるのです!

よって、(A-1)(B-1)-2=0

(A-1)(B-1)=2 となります。

2数A、Bともに、正の整数ですから、A-1もB-1も正の整数となります。 よって、

(A-1)(B-1)= 2 =1×2 となり、A<Bの条件より、

A-1=1 かつ B-1=2 となるので、

A= かつ B= よって、AB=6となる。

あの因数分解式への変形に気づけば簡単ですが、気づかないと、どう証明してよいか分からないでしょうね・・ヽ(;´Д`)ノ

この問題は、さらに、

(3)A^2・B^2(Aの2乗×Bの2乗)は完全数にならないことを証明せよ。

という難問があるのですが、毎度のことながら、ブログ上では、(2乗)などの指数の表現が難しいので、いつものごとく、手書きの解答を写真でアップする予定ですので、高校生のみなさんは、それまで、(3)の問題を考えておいてくださいね!(^O^)/

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